Intersection d'une sphère et d'un plan - Corrigés

Solution 2

1.  \(d\)  est dirigée par  \(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 3\\4\\0\\ \end{pmatrix}\)  et passe par  \(\Omega(1~;~3~;-1)\) .
Donc une représentation paramétrique de  \(d\)  est :  \(\begin{cases} x = 1 +3t\\ y = 3+4t \\ z = -1 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

  2. On cherche  \(\text H(x~;~y~;~z)\)  tel que  \(\begin{cases} x = 1 +3t\\ y = 3+4t \\ z = -1 \\ 3x+4y-40=0\\ \end{cases}\) .
Alors,  \(t\)  vérifie :  \(3(1+3t)+4(3+4t)-40=0 \Leftrightarrow 25t-25=0 \Leftrightarrow t=1\) .
D'où  \(\text H\left(4~;~7~;-1\right)\) .

  3. On en déduit alors  \(\overrightarrow{\Omega\text H} \begin{pmatrix} 3\\4\\0\\ \end{pmatrix}\) . D'où  \(\Omega \text H =5\) . Donc le plan coupe la sphère \(S\)  au point \(\text H\) .

Solution 3

Une équation cartésienne de  \(S\)  est  \((x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=25\) .

\(\text M(x~;~y~;~z)\)  est un point sur le plan \(P\) , donc \(z=3\) . Donc ses coordonnées vérifient :  \((x-1)^2+(y-3)^2+16=25\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-3)^2=9\) .

C'est l'équation d'un cercle de centre \(\text A(1~;~3~;~3)\)  et de rayon \(3\)  dans le plan \(P\) .